Σε μια κατσαρόλα με δυνατή φωτιά με λίγο ελαιόλαδο, ρίχνουμε το κρεμμύδι χοντροκομμένο, δυο σκελίδες σκόρδου σπασμένες, το σέλερι ψιλοκομμένο, την καστανή ζάχαρη και σοτάρουμε μέχρι να μαραθούν.
Προθέτουμε την κρέμα βαλσάμικου barbeque, τη barbeque sauce και λίγο νερό.
Ανακατεύουμε και χαμηλώνουμε τη φωτιά.
Στη συνέχεια προσθέτουμε τη Worcestershire sauce, τη μουστάρδα, την πάπρικα και το τσίλι. Ανακατεύουμε.
Τοποθετούμε τα μπούτια στην κατσαρόλα γλασάροντάς τα με τη σάλτσα.
Βάζουμε καπάκι στην κατσαρόλα και ψήνουμε στους 170ºC για περίπου 2 ώρες.
Όσο ψήνεται το κοτόπουλο ετοιμάζουμε τη σαλάτα.
Κόβουμε το πράσινο και το κόκκινο λάχανο σε πολύ λεπτές λωρίδες και τρίβουμε τα καρότα στο χοντρό τρίφτη.
Τα βάζουμε σε μπολ και προσθέτουμε τη μαγιονέζα, το γιαούρτι, την καστανή ζάχαρη, τη μουστάρδα, αλάτι και ανακατεύουμε με τα χέρια. Αφήνουμε λίγο στο ψυγείο.
Μόλις ψηθεί το κοτόπουλο το βγάζουμε από την κατσαρόλα για να πέσει λίγο η θερμοκρασία του.
Στραγγίζουμε τη σάλτσα που μας έμεινε περνώντας την από μια σήτα και αφαιρούμε όσο πιο πολύ μπορούμε από την επιφάνεια της.
Αφαιρούμε το δέρμα από το κοτόπουλο. Ξεψαχνίζουμε το κοτόπουλο, το διαλύουμε καλά με πιρούνι και το τοποθετούμε σε μπολ.
Ρίχνουμε τη σάλτσα. Ρίχνουμε μόνο όσο μπορεί να απορροφήσει το κοτόπουλο.
Κόβουμε τα ψωμάκια στη μέση και αν θέλουμε ψήνουμε για λίγο στο γκριλ.
Συναρμολογούμε το burger βάζοντας το τυρί, το κοτόπουλο και τη σαλάτα.
Τοποθετούμε το «καπάκι» και σερβίρουμε.